Vectores são grandezas físicas localizadas no espaço que possuem uma direção, sentido e um módulo.

Representação de um vector

Fig. 1: Representação de um vector.

x, y e z são componentes do vector u \mathbf{u} .

Vectores unitários

Um vector unitário é um vector cujo módulo é igual a um. São frequentemente representados pelo símbolo e^ \mathbf{\hat{e}} da palavra alemã einheit.

e^x=[1,0,0]e^y=[0,1,0]e^z=[0,0,1](1) \mathbf{\hat{e}_x} = [1,0,0] \quad \mathbf{\hat{e}_y} = [0,1,0] \quad \mathbf{\hat{e}_z} = [0,0,1] \quad (1)

e^x \mathbf{\hat{e}_x} , e^y \mathbf{\hat{e}_y} e e^z \mathbf{\hat{e}_z} são vectores base.

Qualquer vector pode ser expresso em termos de vectores base como a soma vectorial de componentes como se segue:

A=[Ax,Ay,Az]=[Ax,0,0]+[0,Ay,0]+[0,0,Az]=Ax[1,0,0]+Ay[0,1,0]+Az[0,0,1](2) \mathbf{A} = [A_x, A_y, A_z] = [A_x, 0,0] + [0,A_y,0] + [0,0,A_z] = A_x [1,0,0] + A_y [0,1,0] + A_z [0,0,1] \quad (2)

Se relacionarmos as expressões (1) e (2), podemos escrever:

A=Axe^x+Aye^y+Aze^z(3) \mathbf{A} = A_x \mathbf{\hat{e}_x} + A_y \mathbf{\hat{e}_y} + A_z \mathbf{\hat{e}_z} \quad (3)

Comumente os vectores base e^x \mathbf{\hat{e}_x} , e^y \mathbf{\hat{e}_y} , e^z \mathbf{\hat{e}_z} podem ser substituídos por i \mathbf{i} , j \mathbf{j} e k \mathbf{k} .

Vectores base

Fig. 2: Vectores base

e^x=i,e^y=j,e^z=k(4) \mathbf{\hat{e}_x} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{\hat{e}_y} = \mathbf{j}, \quad \mathbf{\hat{e}_z} = \mathbf{k} \quad (4)

Tendo em conta a expressão (4), podemos reescrever a expressão (3):

A=Axi+Ayj+Azk(5) \mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k} \quad (5)

Operações com vectores

Método do Paralelogramo

Fig. 3: Método do Paralelogramo

R^=a^+b^=a2+b2+2abcos⁡θ(6) \mathbf{\hat{R}} = \mathbf{\hat{a}} + \mathbf{\hat{b}} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta} \quad (6)

Fig. 4: Método do Triângulo

R^=a^+b^=a2+b2(7) \mathbf{\hat{R}} = \mathbf{\hat{a}} + \mathbf{\hat{b}} = \sqrt{a^2 + b^2} \quad (7)

Adição e subtração de vetores

Sejam dados os vetores a \mathbf{a} e b \mathbf{b} , onde a=axi+ayj+azk \mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} e b=bxi+byj+bzk \mathbf{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} .

Soma

a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k(8) \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x + b_x) \mathbf{i} + (a_y + b_y) \mathbf{j} + (a_z + b_z) \mathbf{k} \quad (8)

Subtração

De forma análoga à expressão (8), podemos escrever a expressão da subtração dos vetores:

a−b=(ax−bx)i+(ay−by)j+(az−bz)k(9) \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x - b_x) \mathbf{i} + (a_y - b_y) \mathbf{j} + (a_z - b_z) \mathbf{k} \quad (9)

Módulo de um vector

O módulo de um vector A^ \mathbf{\hat{A}} , representado por ∣A∣ |\mathbf{A}| ou A \mathbf{A} , é definido como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes, ou seja,

∣A∣=Ax2+Ay2+Az2(10) |\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \quad (10)

Produto Escalar

O produto escalar de dois vetores é um número.

Sejam dados os vetores a⃗=axi+ayj+azk \vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} e b⃗=bxi+byj+bzk \vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} . Então, o seu produto escalar, será dado por:

a⃗⋅b⃗=(axi+ayj+azk)⋅(bxi+byj+bzk)\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})

(⋅) (\cdot) representa o produto escalar.

{i⋅i=1j⋅j=1k⋅k=1i⋅j=i⋅k=j⋅k=0\begin{cases} \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1 \\ \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = 1 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1 \\ \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{i} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = 0 \end{cases} {θ=0∘,cos⁡θ=1θ=90∘,cos⁡θ=0\begin{cases} \theta = 0^\circ, \cos \theta = 1 \\ \theta = 90^\circ, \cos \theta = 0 \end{cases}

Logo, o produto escalar será dado por:

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz(11)\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \quad (11)

Cálculo do Ângulo entre Dois Vetores

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} θ=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣)(12)\theta = \arccos \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right) \quad (12)

Produto Vetorial

O produto vetorial de dois vetores a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} , é um vetor c⃗ \vec{c} com as seguintes características:

  • Direção: perpendicular ao plano definido por a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} .
  • Sentido: o da progressão de uma saca-rolhas.
  • Norma: ∣c⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡α |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \alpha .

De acordo com a definição do produto vetorial, se considerarmos um sistema de eixos ortogonais oxyz teremos:

{i×j=kj×k=ik×i=j(13.1)\begin{cases} \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \\ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \quad (13.1) \end{cases} {j×i=−kk×j=−ii×k=−j(13.2)\begin{cases} \mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i} \\ \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} \quad (13.2) \end{cases} {i×i=0j×j=0k×k=0;sin⁡α=0(13.3)\begin{cases} \mathbf{i} \times \mathbf{i} = 0 \\ \mathbf{j} \times \mathbf{j} = 0 \\ \mathbf{k} \times \mathbf{k} = 0; \quad \sin \alpha = 0 \quad (13.3) \end{cases}

Aqui está o markdown correspondente à imagem fornecida:

× \times - representa produto vetorial.

Sejam dados os vetores a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} , onde a⃗=axi+ayj+azk \vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} e b⃗=bxi+byj+bzk \vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} .

Então o seu produto escalar será dado por:

a⃗=axi+ayj+azk\vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} b⃗=bxi+byj+bzk\vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

a⃗×b⃗=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \times (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})

Tendo em conta as considerações 13.1, 13.2 e 13.3 e as devidas simplificações podemos escrever:

a⃗×b⃗=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k(14)\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \mathbf{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \mathbf{k} \quad (14)

Na prática, podemos determinar o produto vetorial a⃗×b⃗ \vec{a} \times \vec{b} , através do determinante da matriz:

a⃗×b⃗=∣ijkaxayazbxbybz∣=i∣ayazbybz∣−j∣axazbxbz∣+k∣axaybxby∣\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} a⃗×b⃗=i(aybz−azby)−j(axbz−azbx)+k(axby−aybx)(15)\vec{a} \times \vec{b} = \mathbf{i} (a_y b_z - a_z b_y) - \mathbf{j} (a_x b_z - a_z b_x) + \mathbf{k} (a_x b_y - a_y b_x) \quad (15)
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Interessado em continuar? Veja: Exercícios sobre Vectores - Parte I


Bibliografia Recomendada:

Alonso, Marcelo. Edward J; Física: Um Curso Universitário. v. 1. São Paulo: Edgard Brucher, 1972 [Trad. Guimarães, Mário A. et, al.]

RESNICK, Robert. HALLIDAY, David; Fundamentos da Física: Mecânica. 4. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 1983 [Trad. Antonio Máximo R. Luz. et, al.]