Vectores são grandezas físicas localizadas no espaço que possuem uma direção, sentido e um módulo.
Fig. 1: Representação de um vector.
x, y e z são componentes do vector $ \mathbf{u} $.
Vectores unitários
Um vector unitário é um vector cujo módulo é igual a um. São frequentemente representados pelo símbolo $ \mathbf{\hat{e}} $ da palavra alemã einheit.
\[ \mathbf{\hat{e}_x} = [1,0,0] \quad \mathbf{\hat{e}_y} = [0,1,0] \quad \mathbf{\hat{e}_z} = [0,0,1] \quad (1) \]
$ \mathbf{\hat{e}_x} $, $ \mathbf{\hat{e}_y} $ e $ \mathbf{\hat{e}_z} $ são vectores base.
Qualquer vector pode ser expresso em termos de vectores base como a soma vectorial de componentes como se segue:
\[ \mathbf{A} = [A_x, A_y, A_z] = [A_x, 0,0] + [0,A_y,0] + [0,0,A_z] = A_x [1,0,0] + A_y [0,1,0] + A_z [0,0,1] \quad (2) \]
Se relacionarmos as expressões (1) e (2), podemos escrever:
\[ \mathbf{A} = A_x \mathbf{\hat{e}_x} + A_y \mathbf{\hat{e}_y} + A_z \mathbf{\hat{e}_z} \quad (3) \]
Comumente os vectores base $ \mathbf{\hat{e}_x} $, $ \mathbf{\hat{e}_y} $, $ \mathbf{\hat{e}_z} $ podem ser substituídos por $ \mathbf{i} $, $ \mathbf{j} $ e $ \mathbf{k} $.
Fig. 2: Vectores base
\[ \mathbf{\hat{e}_x} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{\hat{e}_y} = \mathbf{j}, \quad \mathbf{\hat{e}_z} = \mathbf{k} \quad (4) \]
Tendo em conta a expressão (4), podemos reescrever a expressão (3):
\[ \mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k} \quad (5) \]
Operações com vectores
Fig. 3: Método do Paralelogramo
\[ \mathbf{\hat{R}} = \mathbf{\hat{a}} + \mathbf{\hat{b}} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta} \quad (6) \]
Fig. 4: Método do Triângulo
\[ \mathbf{\hat{R}} = \mathbf{\hat{a}} + \mathbf{\hat{b}} = \sqrt{a^2 + b^2} \quad (7) \]
Adição e subtração de vetores
Sejam dados os vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $, onde $ \mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} $ e $ \mathbf{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} $.
Soma
\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_x + b_x) \mathbf{i} + (a_y + b_y) \mathbf{j} + (a_z + b_z) \mathbf{k} \quad (8) \]
Subtração
De forma análoga à expressão (8), podemos escrever a expressão da subtração dos vetores:
\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_x - b_x) \mathbf{i} + (a_y - b_y) \mathbf{j} + (a_z - b_z) \mathbf{k} \quad (9) \]
Módulo de um vector
O módulo de um vector $ \mathbf{\hat{A}} $, representado por $ |\mathbf{A}| $ ou $ \mathbf{A} $, é definido como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes, ou seja,
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \quad (10) \]
Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores é um número.
Sejam dados os vetores $ \vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} $ e $ \vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} $. Então, o seu produto escalar, será dado por:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})\]$ (\cdot) $ representa o produto escalar.
\[\begin{cases} \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1 \\ \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = 1 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1 \\ \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{i} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = 0 \end{cases}\] \[\begin{cases} \theta = 0^\circ, \cos \theta = 1 \\ \theta = 90^\circ, \cos \theta = 0 \end{cases}\]Logo, o produto escalar será dado por:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \quad (11)\]Cálculo do Ângulo entre Dois Vetores
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta\] \[\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\] \[\theta = \arccos \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right) \quad (12)\]Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $, é um vetor $ \vec{c} $ com as seguintes características:
- Direção: perpendicular ao plano definido por $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $.
- Sentido: o da progressão de uma saca-rolhas.
- Norma: $ |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \alpha $ .
De acordo com a definição do produto vetorial, se considerarmos um sistema de eixos ortogonais oxyz teremos:
\[\begin{cases} \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \\ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \quad (13.1) \end{cases}\] \[\begin{cases} \mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k} \\ \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i} \\ \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} \quad (13.2) \end{cases}\] \[\begin{cases} \mathbf{i} \times \mathbf{i} = 0 \\ \mathbf{j} \times \mathbf{j} = 0 \\ \mathbf{k} \times \mathbf{k} = 0; \quad \sin \alpha = 0 \quad (13.3) \end{cases}\]Aqui está o markdown correspondente à imagem fornecida:
$ \times $ - representa produto vetorial.
Sejam dados os vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $, onde $ \vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} $ e $ \vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k} $.
Então o seu produto escalar será dado por:
\(\vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}\) \(\vec{b} = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}\)
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \times (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})\]Tendo em conta as considerações 13.1, 13.2 e 13.3 e as devidas simplificações podemos escrever:
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \mathbf{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \mathbf{k} \quad (14)\]Na prática, podemos determinar o produto vetorial $ \vec{a} \times \vec{b} $, através do determinante da matriz:
\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}\] \[\vec{a} \times \vec{b} = \mathbf{i} (a_y b_z - a_z b_y) - \mathbf{j} (a_x b_z - a_z b_x) + \mathbf{k} (a_x b_y - a_y b_x) \quad (15)\]Interessado em continuar? Veja: Exercícios sobre Vectores - Parte I
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