Já viu Exercícios sobre Vectores - Parte I?
Segue-se algumas técnicas para resolver os exercícios da ficha sobre vectores.
Vamos abordar cada questão para que você possa resolvê-las, experimente primeiro resolver sem ler este conteúdo.
Exercício 5
Ache o volume do paralelepípedo cujas as arestas são representadas por $ \vec{a} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} $, $ \vec{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $ e $ \vec{c} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $.
Como resolver?
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Para calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ e $ \vec{c} $, utilize a fórmula do produto misto: \(V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\)
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Primeiro, encontre o produto vetorial $ \vec{b} \times \vec{c} $, em seguida, calcule o produto escalar $ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) $.
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O módulo do resultado obtido será o volume do paralelepípedo.
Exercício 6
Determine o valor de “d”, tal que os vetores $ \vec{a} = 2\mathbf{i} - d\mathbf{j} + \mathbf{k} $ e $ \vec{b} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} $ sejam perpendiculares.
Como resolver?
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Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
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Expanda o produto escalar $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ e resolva a equação resultante para encontrar o valor de $ d $.
Exercício 7
Enunciado: Deduz a expressão do produto escalar.
Como resolver?
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Considere dois vetores genéricos $ \vec{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k} $ e $ \vec{b} = b_x\mathbf{i} + b_y\mathbf{j} + b_z\mathbf{k} $.
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Substitua os vectores na fórmula $ \vec{a} \cdot \vec{b} $, expanda o produto escalar e use as propriedades da multiplicação escalar de componentes vectoriais até obter a fórmula final. (Apoie-se com a aula teórica).
Exercício 8
Deduz a expressão do produto vetorial.
Como resolver?
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Considere dois vetores genéricos $ \vec{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k} $ e $ \vec{b} = b_x\mathbf{i} + b_y\mathbf{j} + b_z\mathbf{k} $.
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O produto vetorial $ \vec{a} \times \vec{b} $ é representado pela matriz determinante: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)
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Expanda o determinante para encontrar a fórmula final.
Exercício 9
Demonstre que o produto vetorial não goza da propriedade comutativa, isto é, $ \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a} $.
Como resolver?
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Considere dois vetores genéricos $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $.
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Calcule $ \vec{a} \times \vec{b} $ e faça o mesmo com $ \vec{b} \times \vec{a} $.
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Calcule $ \vec{b} \times \vec{a} $.
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Compare os resultados obtidos (preste atenção nos coeficientes dos componentes individuais).
Se precisar de mais ajuda, deixe um comentário!
Interessado em continuar? Veja: Exercícios sobre Vectores - Parte III
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