Segue-se algumas técnicas para resolver os exercícios da ficha sobre vectores.

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Vamos abordar cada questão para que você possa resolvê-las, experimente primeiro resolver sem ler este conteúdo.

Exercício 1

Para os vectores a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} , definidos como a⃗=i+2j+2k \vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} e b⃗=−2i+2j−k \vec{b} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} , demonstra que ∣a⃗+b⃗∣≠∣a⃗∣+∣b⃗∣ |\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}| .

Como resolver?

  1. Some os componentes correspondentes dos vectores a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} para encontrar a⃗+b⃗ \vec{a} + \vec{b} .
    • a⃗+b⃗=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x)\mathbf{i} + (a_y + b_y)\mathbf{j} + (a_z + b_z)\mathbf{k}

  2. Use a fórmula ∣v⃗∣=vx2+vy2+vz2 |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} para calcular os módulos de a⃗ \vec{a} , b⃗ \vec{b} e a⃗+b⃗ \vec{a} + \vec{b} .

  3. Verifique se ∣a⃗+b⃗∣ |\vec{a} + \vec{b}| é igual a ∣a⃗∣+∣b⃗∣ |\vec{a}| + |\vec{b}| .

Exercício 2

Dois vectores são dados por a⃗=i+2j+k \vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} e b⃗=2i+j−2k \vec{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k} . Determine:

a) a⃗+b⃗ \vec{a} + \vec{b}

b) a⃗−b⃗ \vec{a} - \vec{b}

c) a⃗⋅b⃗ \vec{a} \cdot \vec{b}

d) 3a⃗−2b⃗ 3\vec{a} - 2\vec{b}

e) O ângulo entre os vectores.

Como resolver?

  1. Siga o mesmo procedimento do exercício 1 para somar e subtrair os vectores.

  2. Use a fórmula a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z para calcular o produto escalar.

  3. Use a fórmula cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} para encontrar o ângulo entre os vectores.

  4. Para 3a⃗−2b⃗ 3\vec{a} - 2\vec{b} , multiplique cada componente de a⃗ \vec{a} por 3 e cada componente de b⃗ \vec{b} por -2, e depois some os resultados.

Exercício 3

As coordenadas de três pontos são dadas por A(-2;2;3), B(1;0;-3) e C(1;3;-1). Considere CA⃗=a⃗ \vec{CA} = \vec{a} e o vector BA⃗=b⃗ \vec{BA} = \vec{b} . Determine:

a) Os módulos de a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b}

b) a⃗⋅b⃗ \vec{a} \cdot \vec{b}

c) O ângulo entre a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b}

d) O vector c⃗=a⃗×b⃗ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}

e) O módulo de c⃗ \vec{c} .

Como resolver?

  1. Subtraia as coordenadas dos pontos para encontrar os vectores.
    • CA⃗=A⃗−C⃗ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C}
    • BA⃗=A⃗−B⃗ \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B}

  2. Use a fórmula ∣v⃗∣=vx2+vy2+vz2 |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} .

  3. Utilize as técnicas mencionadas no exercício 2.

  4. Calcule o determinante da matriz 3x3 formada pelos vectores base e os componentes de a⃗ \vec{a} e b⃗ \vec{b} para encontrar c⃗ \vec{c} .

Exercício 4

Dado o vector a⃗=4i+4j+2k \vec{a} = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} e sabendo que o módulo de b⃗ \vec{b} é 3 com a componente bx b_x menor que zero, bz b_z igual a zero e b⃗ \vec{b} perpendicular ao vector a⃗ \vec{a} . Calcule o vector b⃗ \vec{b} .

Como resolver?

  1. Use as informações dadas para definir as componentes de b⃗ \vec{b} :
    • bz=0 b_z = 0
    • bx<0 b_x < 0

  2. Use o fato de que a⃗⋅b⃗=0 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 para encontrar a relação entre bx b_x e by b_y .

  3. Use a fórmula do módulo para encontrar os valores específicos de bx b_x e by b_y .

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Interessado em continuar? Veja: Exercícios sobre Vectores - Parte II


Bibliografia Recomendada:

Alonso, Marcelo. Edward J; Física: Um Curso Universitário. v. 1. São Paulo: Edgard Brucher, 1972 [Trad. Guimarães, Mário A. et, al.]

RESNICK, Robert. HALLIDAY, David; Fundamentos da Física: Mecânica. 4. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 1983 [Trad. Antonio Máximo R. Luz. et, al.]