Segue-se algumas técnicas para resolver os exercícios da ficha sobre vectores.
Vamos abordar cada questão para que você possa resolvê-las, experimente primeiro resolver sem ler este conteúdo.
Exercício 1
Para os vectores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $, definidos como $ \vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} $ e $ \vec{b} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $, demonstra que $ |\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}| $.
Como resolver?
- Some os componentes correspondentes dos vectores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ para encontrar $ \vec{a} + \vec{b} $.
- $ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x)\mathbf{i} + (a_y + b_y)\mathbf{j} + (a_z + b_z)\mathbf{k} $
-
Use a fórmula $ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $ para calcular os módulos de $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ e $ \vec{a} + \vec{b} $.
- Verifique se $ |\vec{a} + \vec{b}| $ é igual a $ |\vec{a}| + |\vec{b}| $.
Exercício 2
Dois vectores são dados por $ \vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} $ e $ \vec{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k} $. Determine:
a) $ \vec{a} + \vec{b} $
b) $ \vec{a} - \vec{b} $
c) $ \vec{a} \cdot \vec{b} $
d) $ 3\vec{a} - 2\vec{b} $
e) O ângulo entre os vectores.
Como resolver?
-
Siga o mesmo procedimento do exercício 1 para somar e subtrair os vectores.
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Use a fórmula $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ para calcular o produto escalar.
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Use a fórmula $ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $ para encontrar o ângulo entre os vectores.
-
Para $ 3\vec{a} - 2\vec{b} $, multiplique cada componente de $ \vec{a} $ por 3 e cada componente de $ \vec{b} $ por -2, e depois some os resultados.
Exercício 3
As coordenadas de três pontos são dadas por A(-2;2;3), B(1;0;-3) e C(1;3;-1). Considere $ \vec{CA} = \vec{a} $ e o vector $ \vec{BA} = \vec{b} $. Determine:
a) Os módulos de $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $
b) $ \vec{a} \cdot \vec{b} $
c) O ângulo entre $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $
d) O vector $ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} $
e) O módulo de $ \vec{c} $.
Como resolver?
- Subtraia as coordenadas dos pontos para encontrar os vectores.
- $ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} $
- $ \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} $
-
Use a fórmula $ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $.
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Utilize as técnicas mencionadas no exercício 2.
- Calcule o determinante da matriz 3x3 formada pelos vectores base e os componentes de $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ para encontrar $ \vec{c} $.
Exercício 4
Dado o vector $ \vec{a} = 4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} $ e sabendo que o módulo de $ \vec{b} $ é 3 com a componente $ b_x $ menor que zero, $ b_z $ igual a zero e $ \vec{b} $ perpendicular ao vector $ \vec{a} $. Calcule o vector $ \vec{b} $.
Como resolver?
- Use as informações dadas para definir as componentes de $ \vec{b} $:
- $ b_z = 0 $
- $ b_x < 0 $
-
Use o fato de que $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ para encontrar a relação entre $ b_x $ e $ b_y $.
- Use a fórmula do módulo para encontrar os valores específicos de $ b_x $ e $ b_y $.
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Interessado em continuar? Veja: Exercícios sobre Vectores - Parte II
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